Расчет сложной электрической цепи постоянного тока. Расчет и анализ электрической цепи переменного тока. Анализ и расчет линейных электрических цепей постоянного тока Анализ и расчет электрических цепей
Электрическая цепь представляет собой совокупность электротехнических устройств, создающих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых описываются уравнениями с учетом понятий об электродвижущей силе, электрическом токе и электрическом напряжении.
Основными элементами электрической цепи (рисунок 1.1) являются источники и потребители электрической энергии.
Рисунок 1.1 Основные элементы электрической цепи
В качестве источников электрической энергии постоянного тока широко распространены генераторы постоянного тока и гальванические элементы.
Источники электрической энергии характеризуются ЭДС Е, которую они развивают, и внутренним сопротивлением R0.
Потребителями электрической энергии являются резисторы, электрические двигатели, электролизные ванны, электрические лампы и т. д. В них электрическая энергия преобразуется в меха-ническую, тепловую, световую и др. В электрической цепи за по-ложительное направление ЭДС Е принимается направление, совпадающее с силой, действующей на положительный заряд, т.е. от «-» источника к «+» источника питания.
При расчетах электрических цепей реальные источники электрической энергии заменяются схемами замещения.
Схема замещения источника ЭДС содержит ЭДС Е и внутреннее сопротивление R0 источника, которое много меньше сопротивления Rн потребителя электроэнергии (Rн >> R0). Часто при расчетах внутреннее сопротивление источника ЭДС приравнивают к нулю.
Для участка цепи, не содержащего источник энергии (например, для схемы рисунок 1.2, а), связь между током I и напряжением U12 определяется законом Ома для участка цепи:
где ц1 и ц2 - потенциалы точек 1 и 2 цепи;
У R - сумма сопротивлений на участке цепи;
R1 и R2 - сопротивления участков цепи.
Рисунок 1.2 Электрическая схема участка цепи: а - не содержащая источник энергии; б - содержащая источник энергии
Для участка цепи, содержащей источник энергии (рисунок 1.2, б), закон Ома запи-сывают в виде выражения
где Е - ЭДС источника энергии;
У R = R1 + R2 - арифметическая сумма сопротивлений участков цепи;
R0 - внутреннее сопротивление источника энергии.
Взаимосвязь между всеми видами мощностей в электрической цепи (баланс мощностей) определяется из уравнения:
УР1 = УР2 + УРп, (1.3)
где УР1 = УЕI - алгебраическая сумма мощностей ис-точников энергии;
УР2 - алгебраическая сумма мощностей потребителей (полезная мощность) (Р2 = UI);
УРп = УI2R0 - суммарная мощность, обусловленная потерями в сопротивлениях источника.
Резисторы, а также сопротивления других электротехнических устройств являются потребителями электрической энергии. Ба-ланс мощностей определяется законом сохранения энергии, при этом в любой замкнутой электрической цепи алгебраическая сумма мощностей источников энергии равна алгебраической сум-ме мощностей, расходуемых потребителями электрической энер-гии.
Коэффициент полезного действия установки определяется отношением
При расчетах неразветвленных и разветвленных линейных электрических цепей постоянного тока могут быть использованы различные методы, выбор которых зависит от вида электрической цепи.
При расчетах сложных электрических цепей во многих случаях целесообразно производить их упрощение путем свертывания, заменяя отдельные участки цепи с последовательным, параллель-ным и смешанным соединениями сопротивлений одним эквива-лентным сопротивлением с помощью метода эквивалентных преобразований (метода трансфигураций) электрических цепей.
Методические указания по разделам курса
Электрические цепи постоянного тока . Электрическая цепь - это совокупность устройств, предназначенных для получения, передачи и преобразования в другие виды электрической энергии. Она состоит из источника и приемника электрической энергии, связанных соединительными проводами. Кроме этих элементов цепь включает в себя коммутационно-защитную аппаратуру и электроизмерительные приборы. Эти устройства служат для управления и контроля за работой цепи, а также для защиты ее элементов от перегрузок.
Основной задачей анализа электрических цепей является определение токов всех ветвей при заданной конфигурации цепи и известных параметрах всех ее элементов. При расчете токов часто изображают не реальную цепь, а ее схему замещения. Схема замещения - это графическое изображение реальной цепи с помощью идеальных элементов, параметрами которых являются параметры реальных элементов, входящих в цепь. На схеме замещения не указывают измерительные приборы, аппаратуру защиты и аппаратуру включения-выключения.
На схеме замещения различают ветви, узлы и контуры. Ветвь - это участок цепи, в любом сечении которого течет один и тот же ток. Узел - это точка, в которой сходится не менее трех ветвей. Контур - любой замкнутый путь для электрического тока.
Контур называется независимым, если он имеет хотя бы один элемент, принадлежащий только ему.
Элементы цепи могут включаться последовательно и параллельно. При последовательном включении во всех элементах протекает один и тот же ток. При параллельном включении элементы цепи подключаются к одной паре узлов.
Для расчета токов в ветвях цепи применяют законы Кирхгофа и Ома .
Первый закон Кирхгофа относится к узлу и гласит:
алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю.
где i - номер тока;
n - количество токов, сходящихся в узле.
Второй закон Кирхгофа относится к контуру, он гласит:
алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений в том же контуре.
где i - номер ветви контура;
n - число ветвей, входящих в контур.
Законы Кирхгофа применяют для расчета сложных разветвленных цепей, включающих в себя несколько источников энергии. При этом необходимо составить p = m + (n-1) уравнений, где m - число независимых контуров, n - число узлов.
Выбрать направление обхода контуров (ошибок в дальнейшем будет меньше, если направление будет во всех контурах одинаковым).
Произвольно указать направление токов в ветвях цепи.
Составить необходимые уравнения по первому закону Кирхгофа.
Составить необходимые уравнения по второму закону Кирхгофа, считая положительными токи и ЭДС, совпадающие с направлением обхода контура.
Решить полученную систему уравнений любым известным методом.
Провести проверку правильности решения путем составления баланса мощностей.
Пример решения 1.
Для электрической цепи, изображенной на рис. 1.1., по данным значениям ЭДС источников и сопротивлениям резисторов найти величины токов во всех ветвях и их направления.
Е 1 =45 В; Е 2 =60 В; R 01 =0,1 Ом; R 02 =0,15 Ом; R 1 =R 2 =R 5 =2 Ом; R 3 =10 Oм; R 4 = 4 Ом.
Так как резисторы R 1 , R 5 и R 4 включены последовательно, то I 4 =I 5 =I 1 ; аналогично I 3 =I 02 =I 2 .
На основании первого закона Кирхгофа для узла “а” имеем I 1 +I 01 -I 2 =0.
На основании второго закона Кирхгофа для контура R 1 -R 5 -R 4 -Е 1 - R 01 -R 1 получаем I 1 (R 1 +R 5 +R 4)-I 01 R 01 =-E 1 .
Аналогично, для контура R 2 -R 01 -Е 1 - R 3 - Е 2 -R 02 -R 2:
I 2 (R 3 +R 02 +R 2)+I 01 R 01 =E 1 - Е 2 .
Подстановка значений ЭДС и сопротивлений дает систему уравнений:
I 1 +I 01 -I 2 =0
8I 1 -0,1I 01 +0I 2 =-45
0I 1 +0,1I 01 +12,15I 3 =-15
Решение системы уравнений дает:
I 1 =-5,57 A, I 01 =4,30 A, I 2 =-1,27 A.
Отрицательные значения токов I 1 и I 2 означают, что первоначально их направления были выбраны неверно и их направления на схеме надо сменить на противоположные.
Для проверки правильности решения необходимо составить баланс мощностей
Произведение E i I i берется со знаком “+”, если направления ЭДС и тока в ветви “i” совпадают. E 1 I 01 +E 2 I 2 =I 1 2 (R 1 +R 5 +R 4)+I 2 2 (R 3 +R 02 +R 2)+I 01 2 R 01 . Подстановка значений ЭДС, токов и сопротивлений и расчет дают: 269,7=269,7, т.е. задача решена верно.
При расчете сложных цепей с большим количеством источников энергии рациональнее использовать метод контурных токов , позволяющий почти вдвое сократить количество уравнений.
В методе контурных токов независимыми переменными являются контурные токи, условно замыкающиеся по элементам независимых контуров.
Чтобы найти контурные токи каждого независимого контура, необходимо составить уравнения второго закона Кирхгофа и решить полученную систему линейных уравнений. При расчете рекомендуется придерживаться следующей последовательности:
Выделить все независимые контуры.
Указать направления обхода контуров (лучше, если направления обхода всех контуров будет одним и тем же).
Указать направления контурных токов в каждом контуре (чтобы избежать ошибок при составлении уравнений, рекомендуется направления контурных токов выбирать совпадающими с направлениями обхода).
Для всех независимых контуров составить уравнения второго закона Кирхгофа.
Решить полученную систему уравнений.
Произвести проверку правильности ее решения.
По вычисленным значениям контурных токов определить величины токов в ветвях и их направления.
Составить баланс мощностей.
Рассмотрим решение на примере предыдущей задачи (рис.1.2.).
По признакам, данным в определении независимого контура, можно выделить следующие независимые контуры: R 1 -R 5 -R 4 -E 1 -R 01 -R 1 и R 2 -R 01 -E 1 -R 3 -E 2 -R 02 -R 2 . В соответствии с выбранными направлениями обхода и контурных токов запишем уравнения второго закона Кирхгофа
I k1 (R 01 +R 1 +R 5 +R 4)-I k2 R 01 =-E 1
I k1 R 01 +I k2 (R 01 +R 3 +R 02 +R 2)=E 1 -E 2 .
Подстановка значений сопротивлений и ЭДС и решение полученной системы уравнений дает: I к1 =-5,57 А, I к2 =-1,27 А.
Так как в наружной ветви R 1 -R 5 -R 4 протекает только контурный ток I к1 , то I 1 =I 4 =I 5 =5,57 A, а направление их противоположно направлению I к1 . Аналогично I 2 =I 3 =1,27 A.
В ветви R 01 -E 1 протекают два контурных тока в противоположных направлениях, поэтому для нахождения тока I 01 необходимо из большего контурного тока вычесть меньший и принять направления большего, т.е.
I 01 =I k2 -I k1 =-1,27-(-5,57)=4,3 A.
Баланс мощностей составляется как в предыдущей задаче.
Цепи с одним источником энергии можно рассчитать, пользуясь только законом Ома путем эквивалентного преобразования цепи.
Пример решения 2.
Рассмотрим расчет на примере цепи, представленной на рис. 1.3.
Для цепи, представленной на рис. 1.3, найти токи во всех ветвях, определить ЭДС источника Е и показания приборов, если: R 0 =0,15 Ом; R 1 =0,7 Oм; R 2 =40 Ом; R 3 =8 Ом; R 4 =4 Ом; R 5 =2,4 Ом; R 6 =4 Ом; I 2 =0,25 А.
1. В соответствии с положительным направлением ЭДС-Е укажем направления токов во всех ветвях.
2. По закону Ома для участка цепи найдем напряжение на резисторе R 2
U 2 =I 2 R 2 =0,25*40=10 В.
3. Так как R 3 и R 2 подключены к одной паре узлов a-b, то напряжение на резисторе R 3 равно U 2 , и тогда I 3 можно найти по закону Ома для участка цепи.
4. На основании первого закона Кирхгофа для узла”b” имеем:
I А =I 2 +I 3 =0,25+1,25=1,5 A.
5. Если сопротивлением амперметра пренебречь, то напряжение на участке R 4 -R 5 будет равно U 2 и тогда
6. На основании первого закона Кирхгофа для узла “a” можно записать:
I 6 =I 2 +I 3 +I 4 =0,25+1,25+1,56=3,06 A.
7. На участке R 1 -R 0 -E-R 6 все элементы включены последовательно и тогда
I 6 =I 1 =3,06 А.
U 6 =I 6 R 6 =3,06*4=12,24 B.
9. На основании второго закона Кирхгофа показание вольтметра Uv=U 6 +U 2 =12,24+10=22,24 B.
10. На основании второго закона Кирхгофа ЭДС источника
E=I 1 R 0 +I 1 R 1 +U ad =3,06*0,15+3,06*0,7+22,24=24,84.
Проверка правильности решения осуществляется по балансу мощностей как указано ранее.
Электрические цепи переменного тока . Ток, величина и направление которого изменяются во времени, называется переменным. Из всего многообразия переменных токов наибольшее распространение получил ток, изменяющийся по синусоидальному закону. Синусоидальные токи возникают в цепях под действием синусоидальных ЭДС и напряжений.
Значение синусоидального тока в данный момент времени называется мгновенным (обозначается i).
Максимальное значение синусоидального тока называется амплитудным (обозначается I m).
Действующим значением синусоидального тока называется такой постоянный ток, который за время одного периода выделяет такое же количество тепла, что и данный переменный ток (обозначается I). В действующих значениях градуированы вольтметры и амперметры. Действующие и амплитудные значения связаны следующим соотношением:
При анализе электрического состояния цепей расчет токов ведут либо для действующих, либо для амплитудных значений. Наиболее общим методом расчета цепей синусоидального тока является символический . В этом случае синусоидальная величина изображается вращающимся вектором, положение которого на комплексной плоскости в данный момент времени описывается комплексным числом (символом).
Существует три формы записи комплексного числа: алгебраическая, показательная и тригонометрическая.
В алгебраической форме комплексное число записывается в виде многочлена, например
где a - проекция вектора на ось действительных величин;
b - проекция вектора на ось мнимых величин;
j - мнимая единица.
Алгебраическая форма записи удобна для сложения и вычитания комплексных чисел.
В показательной форме комплексное число записывается в виде
A =Ae j j ,
где - модуль комплексного числа.
j=arctg b/a - угол, образуемый вектором с положительным направлением оси действующих величин.
Показательная форма записи удобна для умножения и деления комплексных чисел.
В тригонометрической форме комплексное число записывается в виде многочлена
A =ACosj+jASinj.
Тригонометрическая форма записи позволяет легко перейти от показательной формы записи к алгебраической. При символическом расчете все уравнения для цепей постоянного тока остаются справедливыми и для цепей переменного тока с той только разницей, что все величины, входящие в них, берутся в комплексной форме.
Пример решения 3.
Для цепи, изображенной на рис. 1.4., по данным значениям напряжения и сопротивлений определить показания приборов, а также полную и реактивную мощности, построить векторную диаграмму.
Начальную фазу напряжения принимают равной нулю, тогда комплекс приложенного напряжения будет равен
U =127 e jo В.
Комплекс полного сопротивления последовательно соединенных элементов R, L и C
Z =R+j(X L -X c).
Отсюда комплексы полного сопротивления ветвей
Z 1 =jX L1 =j5=5e j90 Ом
Z 2 =R 2 -jX c2 =3-j4=5e -j53 Ом.
По закону Ома определяют комплексы токов в ветвях
Действительная часть комплексной мощности есть активная мощность Р, а мнимая часть - реактивная мощность Q.
Построение векторной диаграммы начинают с выбора масштаба по току и напряжению.
В выбранных масштабах откладывают векторы напряжения и токов в соответствии с рассчитанными значениями. Отсчет углов ведут от оси +1. Положительные углы откладывают в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Вектор тока в неразветвленной части цепи находят сложением векторов тока I 1 и I 2 .
Пример решения 4.
В цепи, представленной на рис.1.6., действует напряжение u=U m Sinwt, частотой 50 Гц. Найти показания приборов, реактивную и полную мощности, построить векторную диаграмму, если U m =282 B, R=3 Ом, L=19,1 мГн, С=1592,4 мкФ.
1. Так как вольтметр градуирован в действующих значениях, напряжение на зажимах цепи будет равно:
2. Реактивное сопротивление индуктивности L
Комплекс индуктивного сопротивления
jX L =j6=6e j90 Ом.
3. Реактивное сопротивление емкости С
Комплекс емкостного сопротивления
JX c =-j2=2e -j90 Ом.
4. Комплекс полного сопротивления цепи
Z =R+j(X L -X c)=3+j(6-2)=3+j4=5e j arctg4/3 =5e j53 Ом.
5. Начальную фазу напряжения, приложенного к зажимам цепи, принимают равной нулю, тогда комплекс напряжения на зажимах цепи
U =200e jo B.
6. Комплекс тока находится по закону Ома
I =U /Z =200e j0 /(5e j53)=40e -j53 A.
Показание амперметра I A =40 A.
7. Комплекс напряжения на участке R
Показание вольтметра на участке R
8. Комплекс напряжения на участке L
U L =I jX L =40e -j53 6e j90 =240e j37 B.
Показание вольтметра на участке L
9. Комплекс напряжения на участке С
U C =80 B.
10. Комплексная полная мощность цепи:
Полная мощность S=8000 ВА.
Действительная часть комплексной полной мощности есть показание ваттметра
Мнимая часть комплексной полной мощности есть мощность реактивная
11. Разность фаз между напряжением и током:
j=j U - j I =0-(-53)=53 0 .
12. Показание фазометра
Cosj=Cos53= 0,602.
При построении векторной диаграммы в выбранных масштабах тока и напряжения строят векторы тока и напряжений, комплексы которых рассчитаны. Положительные углы отсчитываем от оси действительных величин в направлении, противоположном движению часовой стрелки.
Вектор напряжения, приложенного к зажимам цепи, находится путем сложения U R , U L и U c по правилам сложения векторов.
Трехфазные электрические цепи . Совокупность электрических цепей, в которых одним источником энергии создаются три синусоидальные электродвижущие силы одинаковой частоты и амплитуды, векторы которых сдвинуты относительно друг друга на угол 120 0 , называется трехфазной системой или трехфазной цепью . Каждая из цепей, входящих в трехфазную систему, называется фазой ; обозначения фаз - А, В,С. Токи, протекающие в фазах приемника, называются фазными .
Трехфазные приемники могут быть включены звездой или треугольником ; они могут быть симметричными или несимметричными. Приемник называется симметричным , если комплексы полных сопротивлений его фаз равны, т.е. Z a =Z b =Z c .
Звезда - это такое соединение, при котором концы фаз, обозначаемые буквами x, y, z, соединяются в один узел, который называется нейтральной точкой , а начала фаз, обозначаемые буквами a, b, c, соединяются с источником. Нейтральная точка приемника соединяется с нейтральной точкой источника.
Провода, соединяющие начала фаз приемника и источника, называются линейными ; в них протекают линейные токи . Провод, соединяющий нейтральные точки, называется нейтральным , или нулевым.
Треугольник - это такое соединение, при котором конец предыдущей фазы соединяется с началом последующей.
Одним из достоинств трехфазных систем является наличие двух рабочих напряжений - фазного и линейного.
Фазным напряжением называется напряжение между началом и концом одной и той же фазы.
Линейным напряжением называется напряжение между началами двух фаз.
Для приемников, включенных по схеме ”звезда” с нейтральным проводом, выполняются следующие соотношения:
I л =I ф U л = .
Ток в нейтральном проводе может быть найден также из векторной диаграммы.
Для приемников, включенных по схеме “треугольник”, выполняются соотношения:
U л =U ф I л = .
Однако, если приемник несимметричный , линейные токи указанному соотношению не подчиняются и могут быть найдены либо аналитически, как разности комплексов фазных токов
либо из векторной диаграммы.
Здесь , , - комплексы токов в линейных проводах;
Комплексы фазных токов в фазах приемника.
При расчете комплексов токов в фазах приемника, они определяются отдельно для каждой фазы на основании закона Ома.
I a =U a /Z a ; I b =U b /Z b ; I c =U c /Z c .
Здесь , , - комплексы фазных напряжений,
Z a , Z b , Z c - комплексы полных сопротивлений фаз.
Пример решения 5.
Для активно-индуктивного приемника, включенного по схеме “звезда” с нейтральным проводом (рис.1.8.) в сеть с линейным напряжением U л =380 В, найти фазные и линейные токи, а также ток в нейтральном проводе, активные мощности отдельных фаз и активную мощность приемника, если R a =3 Ом, R b =4 Ом, R с =6 Ом, X а =4 Ом, X b =3 Ом, X с =8 Ом.
1. Находят действующее значение фазного напряжения
2. Начальную фазу напряжения в фазе “а” принимают равной нулю, тогда комплексы фазных напряжений будут:
.
4. Вычисляют комплексы фазных токов
I a =U a /Z a =220e j0 /(5e j53)=44e -j53 A.
I b =U b /Z b =220e -j120 /(5e j37)=44e -j157 A.
I c =U c /Z c =220e j120 /(10e j53)=22e j67 A..
5. Так как приемник включен “звездой”, линейные токи равны фазным.
6. Находят ток в нейтральном проводе
Действующее значение тока в нейтральном проводе:
7. Определяют комплексные полные мощности фаз приемника
Активная мощность фазы “а”: Р а =5825 Вт.
Реактивная мощность фазы “а”: Q а =7730 Вар.
Активная мощность фазы “b”: Р b =7730 Вт.
Реактивная мощность фазы “b”: Q b =5825 Вар.
Активная мощность фазы “c”: Р c =2912 Вт.
Реактивная мощность фазы “c”: Q c =3865 Вар.
8. Вычисляют активную мощность приемника.
Активная мощность трехфазного приемника равна сумме активных мощностей отдельных фаз.
Р=Р а +Р b +Р c =5825+7730+2912=16469 Вт.
Для удобства построения векторной диаграммы поворачивают оси координат на 90 0 в направлении, противоположном движению часовой стрелки.
В выбранном масштабе откладываются векторы фазных напряжений. Векторы фазных напряжений строят в соответствии с расчетными значениями комплексов фазных токов. Положительные углы откладывают в сторону, противоположную движению часовой стрелки, от оси действительных величин. Вектор тока в нейтральном проводе находится сложением векторов фазных токов по правилам сложения векторов.
Введение....................................................................................... 4
1 Раздел 1. Расчет сложной электрической цепи постоянного тока 5
1.1 Расчет токов по законам Кирхгофа................................... 5
1.2 Замена треугольника сопротивлений эквивалентной звездой...................................................................................................... 6
1.3 Расчет методом «Контурных токов»................................. 8
1.4 Баланс мощностей электрической цепи............................ 9
1.5 Расчет потенциалов точек электрической цепи.............. 10
2 Раздел 2. Расчет и анализ электрической цепи переменного тока 12
2.1 Расчет токов комплексным методом............................... 12
2.2 Определение активной мощности ваттметра.................. 14
2.3 Баланс активной и реактивной мощностей..................... 14
2.4 Векторная диаграмма токов............................................. 14
3 Раздел 3. Расчет трехфазной электрической цепи................ 15
3.1 Расчет фазных и линейных токов.................................... 15
3.2 Мощности трехфазной электрической цепи................... 16
3.3 Векторная диаграмма токов и напряжений..................... 17
4 Раздел 4. Расчет трехфазного асинхронного двигателя....... 18
Заключение................................................................................. 23
Список использованной литературы......................................... 24
Введение
Электротехника как наука является областью знаний, в которой рассматриваются электрические и магнитные явления и их практическое использование. На базе электротехники начали развиваться электроника, радиотехника, электропривод и другие смежные науки.
Электрическая энергия применяется во всех областях человеческой деятельности. Производственные установки на предприятиях имеют в основном электрический привод, т.е. приводят в действия электрические двигатели. Для измерения электрических и неэлектрических величин широко применяются электрические приборы и устройства.
Непрерывно расширяющиеся использование различных электротехнических и электронных устройств обуславливает необходимость знаниями специалистами всех областей науки, техники и производство основных понятий об электрических и электромагнитных явлений и их практическое применение.
Знание студентами данной дисциплины обеспечит их плодотворную деятельность в будущем как инженеров при современном состоянии энерговооруженности предприятий.
В результате полученных знаний инженер неэлектротехнических специальностей должен уметь квалифицированно эксплуатировать электротехническое и электронное оборудование и электропривод, применяемые в условиях современного производства, знать путь и методы экономии электроэнергии.
РАЗДЕЛ 1. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Параметры схемы приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Параметры схемы электрической цепи.
|
ЭДС источника питания 1 (E 1) |
|
|
ЭДС источника питания 2 (E 2) |
|
|
ЭДС источника питания 3 (E 3) |
|
|
Внутреннее сопротивление источника питания (R 01) |
|
|
Внутреннее сопротивление источника питания (R 02) |
|
|
Внутреннее сопротивление источника питания (R 03) |
|
|
Сопротивление резистора 1 (R 1) |
|
|
Сопротивление резистора 2 (R 2) |
|
|
Сопротивление резистора 3 (R 3) |
|
|
Сопротивление резистора 4 (R 4) |
|
|
Сопротивление резистора 5 (R 5) |
|
|
Сопротивление резистора 6 (R 6) |
1.1 Расчет токов по законам Кирхгофа
Показываем на схеме направление токов в ветвях (рис. 1).
Согласно первому закону Кирхгофа для цепей постоянного тока алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю, т.е. сумма токов, направленных от узла, равна сумме токов, направленных к узлу.
Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов, количество которых равно (n–1), где n – количество узлов в схеме:
А) +I 1 + I 3 – I 2 = 0; (1.1)
B) I 4 + I 6 – I 3 = 0; (1.2)
D) I 5 – I 1 – I 4 = 0. (1.3)
Согласно второму закону Кирхгофа для цепей постоянного тока в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС.
Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура:
I) I 3 ∙ (R 3 + R 03) – I 1 ∙ (R 1 + R 01) + I 4 ∙ R 4 = E 3 – E 1 ; (1.4)
II) I 1 ∙ (R 1 + R 01) + I 2 ∙ (R 2 + R 02) + I 5 ∙ R 5 = E 1 + E 2 ; (1.5)
III) I 6 ∙ R 6 – I 4 ∙ R 4 – I 5 ∙ R 5 = 0. (1.6)
Решаем все полученные уравнения совместно как систему, подставив все известные значения:
=>
(1.7)
Решив матрицу, получим неизвестные значения токов в ветвях:
I 1 = – 0,615 А;
Если ток в ветви оказался отрицательным, значит, его направление противоположно выбранному на схеме.
1.2 Замена треугольника сопротивлений эквивалентной звездой
Проведем преобразование «треугольника» bcd, соответствующего схеме электрической цепи, в эквивалентную «звезду» (рис. 2). Исходный треугольник образован сопротивлениями R 4 , R 5 , R 6 . При преобразовании обязательно сохраняется условие эквивалентности схем, т.е. токи в проводах, проходящих к преобразуемой схеме, и напряжения между узлами не меняют своих величин.
При преобразовании «треугольника» в «звезду» используем расчетные формулы:
Ом.
(1.10)
В результате преобразования исходная схема упрощается (рис. 3).
В преобразованной схеме только три ветви и соответственно три тока I 1 , I 2 , I 3 . Для расчета этих токов достаточно иметь систему трех уравнений, составленных по законам Кирхгофа:
(1.11)
При составлении уравнений направление тока и обхода контуров выбирается так же, как и в трехконтурной схеме.
Составляем и решаем систему:
(1.12)
Решив матрицу, получим неизвестные значения токов I 1 , I 2 , I 3:
I 1 = –0,615 А;
Подстановкой полученных значений токов в уравнения, составленные для трехконтурной схемы, определим остальные токи I 4 , I 5 , I 6:
1.3 Расчет методом «Контурных токов»
Произвольно задаемся направлением контурных токов в ячейках исходной схемы. Удобнее все токи указать в одном направлении – по часовой стрелке
Электрические цепи постоянного тока и методы их расчета
1.1. Электрическая цепь и ее элементы
В электротехнике рассматривается устройство и принцип действия основных электротехнических устройств, используемых в быту и промышленности. Чтобы электротехническое устройство работало, должна быть создана электрическая цепь, задача которой передать электрическую энергию этому устройству и обеспечить ему требуемый режим работы.
Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электрическом токе, ЭДС (электродвижущая сила) и электрическом напряжении.
Для анализа и расчета электрическая цепь графически представляется в виде электрической схемы, содержащей условные обозначения ее элементов и способы их соединения. Электрическая схема простейшей электрической цепи, обеспечивающей работу осветительной аппаратуры, представлена на рис. 1.1.
Все устройства и объекты, входящие в состав электрической цепи, могут быть разделены на три группы:
1) Источники электрической энергии (питания).
Общим свойством всех источников питания является преобразование какого-либо вида энергии в электрическую. Источники, в которых происходит преобразование неэлектрической энергии в электрическую, называются первичными источниками. Вторичные источники – это такие источники, у которых и на входе, и на выходе – электрическая энергия (например, выпрямительные устройства).
2) Потребители электрической энергии.
Общим свойством всех потребителей является преобразование электроэнергии в другие виды энергии (например, нагревательный прибор). Иногда потребители называют нагрузкой.
3) Вспомогательные элементы цепи: соединительные провода, коммутационная аппаратура, аппаратура защиты, измерительные приборы и т.д., без которых реальная цепь не работает.
Все элементы цепи охвачены одним электромагнитным процессом.
В электрической схеме на рис. 1.1 электрическая энергия от источника ЭДС E, обладающего внутренним сопротивлением r 0 , с помощью вспомогательных элементов цепи передаются через регулировочный реостат R к потребителям (нагрузке): электрическим лампочкам EL 1 и EL 2 .
1.2. Основные понятия и определения для электрической цепи
Для расчета и анализа реальная электрическая цепь представляется графически в виде расчетной электрической схемы (схемы замещения). В этой схеме реальные элементы цепи изображаются условными обозначениями, причем вспомогательные элементы цепи обычно не изображаются, а если сопротивление соединительных проводов намного меньше сопротивления других элементов цепи, его не учитывают. Источник питания показывается как источник ЭДС E с внутренним сопротивлением r 0 , реальные потребители электрической энергии постоянного тока заменяются их электрическими параметрами: активными сопротивлениями R 1 , R 2 , …, R n . С помощью сопротивления R учитывают способность реального элемента цепи необратимо преобразовывать электроэнергию в другие виды, например, тепловую или лучистую.
При этих условиях схема на рис. 1.1 может быть представлена в виде расчетной электрической схемы (рис. 1.2), в которой есть источник питания с ЭДС E и внутренним сопротивлением r 0 , а потребители электрической энергии: регулировочный реостат R, электрические лампочки EL 1 и EL 2 заменены активными сопротивлениями R, R 1 и R 2 .
Источник ЭДС на электрической схеме (рис. 1.2) может быть заменен источником напряжения U, причем условное положительное направление напряжения U источника задается противоположным направлению ЭДС.
При расчете в схеме электрической цепи выделяют несколько основных элементов.
Ветвь электрической цепи (схемы) – участок цепи с одним и тем же током. Ветвь может состоять из одного или нескольких последовательно соединенных элементов. Схема на рис. 1.2 имеет три ветви: ветвь bma, в которую включены элементы r 0 , E, R и в которой возникает ток I; ветвь ab с элементом R 1 и током I 1 ; ветвь anb с элементом R 2 и током I 2 .
Узел электрической цепи (схемы) – место соединения трех и более ветвей. В схеме на рис. 1.2 – два узла a и b. Ветви, присоединенные к одной паре узлов, называют параллельными. Сопротивления R 1 и R 2 (рис. 1.2) находятся в параллельных ветвях.
Контур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. В схеме на рис. 1.2 можно выделить три контура: I – bmab; II – anba; III – manbm, на схеме стрелкой показывают направление обхода контура.
Условные положительные направления ЭДС источников питания, токов во всех ветвях, напряжений между узлами и на зажимах элементов цепи необходимо задать для правильной записи уравнений, описывающих процессы в электрической цепи или ее элементах. На схеме (рис. 1.2) стрелками укажем положительные направления ЭДС, напряжений и токов:
а) для ЭДС источников – произвольно, но при этом следует учитывать, что полюс (зажим источника), к которому направлена стрелка, имеет более высокий потенциал по отношению к другому полюсу;
б) для токов в ветвях, содержащих источники ЭДС – совпадающими с направлением ЭДС; во всех других ветвях произвольно;
в) для напряжений – совпадающими с направлением тока в ветви или элемента цепи.
Все электрические цепи делятся на линейные и нелинейные.
Элемент электрической цепи, параметры которого (сопротивление и др.) не зависят от тока в нем, называют линейным, например электропечь.
Нелинейный элемент, например лампа накаливания, имеет сопротивление, величина которого увеличивается при повышении напряжения, а следовательно и тока, подводимого к лампочке.
Следовательно, в линейной электрической цепи все элементы – линейные, а нелинейной называют электрическую цепь, содержащую хотя бы один нелинейный элемент.
1.3. Основные законы цепей постоянного тока
Расчет и анализ электрических цепей производится с использованием закона Ома, первого и второго законов Кирхгофа. На основе этих законов устанавливается взаимосвязь между значениями токов, напряжений, ЭДС всей электрической цепи и отдельных ее участков и параметрами элементов, входящих в состав этой цепи.
Закон Ома для участка цепи
Соотношение между током I, напряжением UR и сопротивлением R участка аb электрической цепи (рис. 1.3) выражается законом Ома
Рис. 1.3В этом случае закон Ома для участка цепи запишется в виде:
Закон Ома для всей цепи
Этот закон определяет зависимость между ЭДС Е источника питания с внутренним сопротивлением r 0 (рис. 1.3), током I электрической цепи и общим эквивалентным сопротивлением R Э = r 0 + R всей цепи:
.Сложная электрическая цепь содержит, как правило, несколько ветвей, в которые могут быть включены свои источники питания и режим ее работы не может быть описан только законом Ома. Но это можно выполнить на основании первого и второго законов Кирхгофа, являющихся следствием закона сохранения энергии.
Первый закон Кирхгофа
В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю
,где m – число ветвей подключенных к узлу.
При записи уравнений по первому закону Кирхгофа токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а токи, направленные от узла – со знаком «минус». Например, для узла а (см. рис. 1.2) I - I 1 - I 2 = 0.
Второй закон Кирхгофа
В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках
,где n – число источников ЭДС в контуре;
m – число элементов с сопротивлением R к в контуре;
U к = R к I к – напряжение или падение напряжения на к-м элементе контура.
Для схемы (рис. 1.2) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:
Если в электрической цепи включены источники напряжений, то второй закон Кирхгофа формулируется в следующем виде: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах контру, включая источники ЭДС равна нулю
.При записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо:
1) задать условные положительные направления ЭДС, токов и напряжений;
2) выбрать направление обхода контура, для которого записывается уравнение;
3) записать уравнение, пользуясь одной из формулировок второго закона Кирхгофа, причем слагаемые, входящие в уравнение, берут со знаком «плюс», если их условные положительные направления совпадают с обходом контура, и со знаком «минус», если они противоположны.
Ниже записать полный номер группы (например, 3АСУ-2ДБ-202), фамилию и И. О. студента, полный код расчётного варианта, например, КР6-13 – код 13-го варианта заданий курсовой работы КР6.
Внизу листа (по центру) записать имя города и текущий год.
2. На следующей странице представляется «Аннотация» выполненной работы (не более 2/3 страницы) с краткой характеристикой расчётных схем цепей, используемых методов (законов, правил и т.п.) анализа схем цепей и полученных результатов выполнения заданий.
Например, аннотация к выполненному первому заданию.
"В задании 1 проведен расчёт сложной электрической цепи постоянного тока с двумя источниками напряжения и шестью ветвями. При анализе схемы и её расчёте использованы следующие методы: метод законов Кирхгофа, метод узловых напряжений (двух узлов), обобщённый закон Ома и метод эквивалентного генератора. Правильность результатов расчёта подтверждена построением потенциальной диаграммы второго контура цепи и выполнением условия баланса мощностей".
Аналогично даётся аннотация выполненных 2-го и 3-го заданий работы.
3. На третьей странице записывается тема задания 1 курсовой работы и под ней (в скобках) код расчётного варианта задания, например, КР6.1-13. Ниже вычерчивается (с соблюдением ГОСТа 2.721-74) электрическая схема цепи и под ней выписываются из таблицы 6.1 исходные данные для расчёта заданного варианта, например: Е 1 = 10 B, Е 2 = 35 B, R 1 = 15 Ом, R 2 = ... и т.д.
4. Далее, выполняется поэтапный расчёт схемы цепи с соответствующими заголовками каждого этапа (шага), с вычерчиванием необходимых расчётных схем с условно положительными направлениями токов и напряжений ветвей, с записью уравнений и формул в общем виде с последующей подстановкой численных значений входящих в формулы физических величин и с записью промежуточных результатов расчёта (для поиска возможных ошибок в расчёте преподавателем). Результаты расчётов следует округлять, оставляя не более четырех-пяти значащих цифр, выражая числа с плавающей запятой, если они велики или малы.
В н и м а н и е! При вычислении значений исходных данных для расчёта схем цепей (действующих значений ЭДС Е , значений полных сопротивлений Z ветвей) рекомендуется округлить их значения до целых чисел, например Z = 13/3 » 4 Ом.
5. Диаграммы и графики вычерчиваются на миллиметровой бумаге (или на листах с мелкой сеткой при выполнении работы на ПК) по ГОСТ с использованием равномерных масштабов по осям и с указанием размерностей. Рисунки и диаграммы должны быть пронумерованы и снабжены надписью, например, Рис. 2.5. Векторная диаграмма напряжений и токов электрической цепи. Нумерация как рисунков, так и формул – сквозная на всех трёх заданиям!
7. Сдавать на проверку преподавателю отчёты по каждому заданию рекомендуется на скреплённых листах форматом А4 с последующим их брошюрованием перед защитой работы.
8. По результатам расчётов и графических построений формулируются выводы по каждому заданию или в конце отчёта – по всей работе. На последней странице отчета студент ставит свою подпись и дату завершения выполнения работы.
В н и м а н и е!
1. Небрежно оформленные работы возвращаются студентам для переоформления. Также преподаватель возвращает отдельным студентам отчеты на доработку с пометками ошибок на листах или с перечнем замечаний и рекомендаций по исправлению ошибок на титульном листе.
2. После защиты курсовых работ, пояснительные записки студентов групп с отметкой и подписью преподавателя (двух преподавателей) на титульных листах, занесенных также в соответствующую ведомость и в зачётные книжки студентов, сдаются на кафедру для хранения в течение двух лет.
П р и м е ч а н и е. При составлении таблицы 6.1. Варианты задания 1 использовалась программа Variant 2, разработанная доц., к.т.н. Румянцевой Р.А. (РГГУ, г. Москва), а варианты задания 6.2 и задания 6.3. взяты (с согласия авторов) из работы: Антоновой О.А., Карелиной Н.Н., Румянцевой М.Н. Расчёт электрических цепей (методические указания к курсовой работе по курсу "Электротехника и электроника". – М.: МАТИ, 1997 г.
Задание 1
АНАЛИЗ И РАСЧЁТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Для заданного в таблице 6.1 варианта:
6.1.1. Выписать значения параметров элементов цепи и вычертить в соответствии с ГОСТ расчётную схему цепи с обозначением условно положительных направлений токов и напряжений ветвей. Выбор обобщенной схемы цепи (рис. 1: а , б , в или г ) осуществляется следующим образом. Если заданный преподавателем для выполнения КР6 студенту номер варианта N делится на 4 без остатка (и в варианте №1), то рассчитывается схема рис. 1а ; при остатке 1 (и в варианте №2) рассчитывается схема рис. 1б ; при остатке 2 (и в варианте №3) - схема рис. 1в ; и, наконец, при остатке 3 рассчитывается схема рис. 1г .
6.1.2. Провести топологический анализ схемы цепи (определить число ветвей, узлов и независимых контуров).
6.1.3. Составить необходимое для расчёта цепи число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.
6.1.4. Упростить схему цепи посредством замены пассивного треугольника схемы эквивалентной звездой, рассчитав сопротивления её лучей (ветвей).
6.1.7. Выполнить проверку расчёта токов и напряжений всех шести ветвей исходной цепи построением в масштабе потенциальной диаграммы одного из контуров, в ветви которого включен хотя бы один источник напряжения, и подтверждением выполнения условия баланса мощностей.
6.1.8. Провести проверку правильности расчёта задания 1 (совместно с преподавателем) посредством сравнения полученных данных с данными, рассчитанными по программе Variant, установленной на компьтере в специализированной лаборатории (классе) кафедры. Краткая инструкция по работе с программой выводится на рабочее поле дисплея вместе с интерфейсом программы.
6.1.9. Сформулировать выводы по результатам выполненного задания 1.
Таблица 6.1
Варианты задания 1 курсовой работы КР6
| № вар | E 1 , B | E 2 , B | E 3 , B | E 4 , B | E 5 , B | E 6 , B | R 1 , Ом | R 2 , Ом | R 3 , Ом | R 4 , Ом | R 5 , Ом | R 6 , Ом | Ветвь для МЭГ | ||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | 16- | 10- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| Таблица 6.1 (продолжение ) | |||||||||||||||
| № вар | E 1 , B | E 2 , B | E 3 , B | E 4 , B | E 5 , B | E 6 , B | R 1 , Ом | R 2 , Ом | R 3 , Ом | R 4 , Ом | R 5 , Ом | R 6 , Ом | Ветвь для МЭГ | ||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | 10- | 16- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||||
Таблица 6.1 (продолжение )
| № вар. | E 1 , B | E 2 , B | E 3 , B | E 4 , B | E 5 , B | E 6 , B | R 1 , Ом | R 2 , Ом | R 3 , Ом | R 4 , Ом | R 5 , Ом | R 6 , Ом | Ветвь для МЭГ |
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| -- | -- | -- | -- | ||||||||||
| Прочерк (--) в полях таблицы означает отсутствие данного источника напряжения E k в схеме цепи |