Матричная алгебра - элементарные преобразования матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Элементарные преобразования строк и столбцов Элементарные преобразования строк и столбцов
К элементарным преобразованиям матрицы относятся:
1. Изменение порядка строк (столбцов).
2. Отбрасывание нулевых строк (столбцов).
3. Умножение элементов любой строки (столбца) на одно число.
4. Прибавление к элементам любой строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно число.
Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).
1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:
2. Решением системы уравнений (1) называется совокупность чисел x 1 , x 2 , … , x n , обращающая каждое уравнение системы в тождество.
3. Система уравнений (1) называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной .
4. Система уравнений (1) называется определенной , если она имеет только одно решение, и неопределенной , если у нее более одного решения.
5. В результате элементарных преобразований система (1) преобразуется к равносильной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений).
К элементарным преобразованиям систем линейных уравнений относятся:
1. Отбрасывание нулевых строк.
2. Изменение порядка строк.
3. Прибавление к элементам любой строки элементов другой строки, умноженных на одно число.
Методы решения систем линейных уравнений.
1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Системой n линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:
Запишем систему (2) в матричном виде, для этого введем обозначения.
Матрица коэффициентов перед переменными:
X = ‒ матрица переменных.
В = ‒ матрица свободных членов.
Тогда система (2) примет вид:
A ×X = B ‒ матричное уравнение.
Решив уравнение, получим:
X = A -1 ×B
Пример:
; ;
1) │А│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4 0 матрицаА -1 существует.
3)
à =
4) А -1 = × Ã =;
Х = А -1 × B
Ответ:
2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
Рассмотрим систему 2 ‒ х линейных уравнений с 2 ‒ мя неизвестными:
Решим эту систему методом подстановки:
Из первого уравнения следует:
Подставив во второе уравнение, получим:
Подставляем значение в формулу для, получим:
Определитель Δ - определитель матрицы системы;
Δ x 1 - определитель переменной x 1 ;
Δ x 2 - определитель переменной x 2 ;
Формулы:
x 1 =;x 2 =;…,x n = ;Δ 0;
‒ называются формулами Крамера.
При нахождении определителей неизвестных х 1 , х 2 ,…, х n заменяется столбец коэффициентов при той переменной, определитель которой находят, на столбец свободных членов.
Пример: Решить систему уравнений методом Крамера
Решение:
Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы:
Так как Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:
где Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 получаются из определителя Δ путем замены 1‒ го, 2 ‒ го или 3 ‒ го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.
Таким образом:
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Рассмотрим систему:
Расширенной матрицей системы (1) называется матрица вида:
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы, начиная со второго уравнения по m – тое уравнение.
При этом путем элементарных преобразований матрица системы приводится к треугольной (если m = n и определитель системы ≠ 0) или ступенчатой (если m < n ) форме.
Затем, начиная с последнего по номеру уравнения, находятся все неизвестные.
Алгоритм метода Гаусса:
1) Составить расширенную матрицу системы, включающую столбец свободных членов.
2) Если а 11 0, то первую строку делим на а 11 и умножаем на (– a 21) и прибавляем вторую строку. Аналогично дойти до m –той строки:
I стр. делим на а 11 и умножаем на (– а m 1) и прибавляем m – тую стр.
При этом из уравнений, начиная со второго по m – тое, исключится переменная x 1 .
3) На 3 ‒ м шаге вторая строка используется для аналогичных элементарных преобразований строк с 3 ‒ й по m – тую. При этом исключится переменная x 2 , начиная с 3 ‒ й строки по m – тую, и т. д.
В результате этих преобразований система приведется к треугольной или ступенчатой форме (в случае треугольной формы под главной диагональю нули).
Приведение системы к треугольной или ступенчатой форме называется прямым ходом метода Гаусса , а нахождение неизвестных из полученной системы называется обратным ходом .
Пример:
Прямой ход. Приведём расширенную матрицу системы
с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. Переставим первую и вторую строки матрицыA b , получим матрицу:
Сложим вторую строку полученной матрицы с первой, умноженной на (‒2), а её третью строку – с первой строкой, умноженной на (‒7). Получим матрицу
К третьей строке полученной матрицы прибавим вторую строку, умноженную на (‒3), в результате чего получим ступенчатую матрицу
Таким образом, мы привели данную систему уравнений к ступенчатому виду:
,
Обратный ход. Начиная с последнего уравнения полученной ступенчатой системы уравнений, последовательно найдём значения неизвестных:
Матричная алгебра - Элементарные преобразования матрицЭлементарные преобразования матриц
Элементарные преобразования матрицы находят широкое применение в различных математических задачах. Например, они составляют основу известного метода Гаусса (метода исключения неизвестных) для решения системы линейных уравнений .
К элементарным преобразованиям относятся:
1) перестановка двух строк (столбцов);
2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на некоторое число, не равное нулю;
3) сложение двух строк (столбцов) матрицы, умноженных на одно и то же число, отличное от нуля.
Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них может быть получена из другой после конечного числа элементарных преобразований. В общем случае эквивалентные матрицы равными не являются, но имеют один и тот же ранг.
Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований
С помощью элементарных преобразований легко вычислить определитель матрицы. Например, требуется вычислить определитель матрицы:
где ≠ 0.
Тогда можно вынести множитель :
теперь, вычитая из элементов j - го столбцасоответствующие элементы первого столбца, умноженные на, получим определитель:
который равен: где
Затем повторяем те же действия для и, если все элементы то тогда окончательно получим:
Если для какого-нибудь промежуточного определителя окажется, что его левый верхний элемент , то необходимо переставить строки или столбцы втак, чтобы новый левый верхний элемент был не равен нулю. Если Δ ≠ 0, то это всегда можно сделать. При этом следует учитывать, что знак определителя меняется в зависимости от того, какой элемент является главным (то есть, когда матрица преобразована так, что). Тогда знак соответствующего определителя равен.
П р и м е р. С помощью элементарных преобразований привести матрицу
Элементарные преобразования матрицы - это такие преобразования матрицы , в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений , которую представляет эта матрица.
Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.
Определение
Элементарными преобразованиями строк называют:
В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того, что перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить, используя умножение любой строки матрицы на константу k {\displaystyle k} , и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу k {\displaystyle k} , k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0} .
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов .
Элементарные преобразования обратимы .
Обозначение указывает на то, что матрица A {\displaystyle A} может быть получена из B {\displaystyle B} путём элементарных преобразований (или наоборот).
Свойства
Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях
Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях).
Если A ∼ B {\displaystyle A\sim B} , то r a n g A = r a n g B {\displaystyle \mathrm {rang} A=\mathrm {rang} B} . |
Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях
Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений :- перестановку уравнений;
- умножение уравнения на ненулевую константу;
- сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.
Нахождение обратных матриц
Теорема (о нахождении обратной матрицы).
Пусть определитель матрицы A n × n {\displaystyle A_{n\times n}} не равен нулю, пусть матрица B {\displaystyle B} определяется выражением B = [ A | E ] n × 2 n {\displaystyle B=_{n\times 2n}} . Тогда при элементарном преобразовании строк матрицы A {\displaystyle A} к единичной матрице E {\displaystyle E} в составе B {\displaystyle B} одновременно происходит преобразование E {\displaystyle E} к A − 1 {\displaystyle A^{-1}} . |
Матрица преобразований применяется для вычисления новых координат объекта при его трансформации. Изменяя значения элементов матрицы преобразования, к объектам можно применять любые трансформации (например: масштабирование, зеркальное отражение, поворот, перемещение и т. п.). При любой трансформации сохраняется параллельность линий объекта.
Координаты в PDF выражаются в терминах двумерного пространства. Точка (x, y) в пространстве может быть выражена в векторной форме . Постоянный третий элемент этого вектора (1) нужен для использования вектора с матрицами 3х3 в вычислениях, описанных ниже.
Преобразование между двумя системами координат представлено, как матрица 3х3 и записывается следующим образом:
Координатные преобразования выражаются в виде матричных умножений:
Так как последняя колонка не оказывает ни какого влияния на результаты расчета, то она в вычислениях не принимает участия. Координаты трансформации высчитываются по следующим формулам:
Единичная матрица
Единичной матрицей называется, та у которой значения матрицы a и d равны 1 , а остальные равны 0 . Такая матрица применяется по умолчанию, так как не приводит к трансформации. Поэтому единичную матрицу используют как основу.
Масштабирование
Для увеличения или уменьшения размера объекта по горизонтали/вертикали следует изменить значение a или d соответственно, а остальные применить из единичной матрицы.
Например: Для увеличения размера объекта в два раза по горизонтали, значение a необходимо принять равным 2, а остальные оставить такими как в единичной матрице.
Отражение
Чтобы получить зеркальное отображение объекта по горизонтали следует установить значение a = -1 , по вертикали d = -1 . Изменение обеих значений применяется для одновременного отображения по горизонтали и вертикали.
Наклон
Наклон объекта по вертикали/горизонтали обеспечивается изменением значений b и c соответственно. Изменение значения b/-b - наклон вверх/вниз, c/-c – вправо/влево.
Например: Для наклона объекта по вертикали вверх установим значение b = 1
Высчитываем новые координаты объекта:
В итоге к наклону объекта приводит только координата y , которая увеличивается на значение x .
Поворот
Поворот — это комбинация масштабирования и наклона, но для сохранения начальных пропорций объекта, преобразования должны проводится с точными вычислениями при использовании синусов и косинусов.
Сам поворот происходит против часовой стрелки, α задаёт угол поворота в градусах.
Перемещение
Перемещение осуществляется изменением значений e (по горизонтали) и f (по вертикали). Значения задаются в пикселях.
Например: Перемещение с использованием матрицы применяется редко из-за того, что эту операцию можно проделать другими методами, например, изменить положение объекта во вкладке .
Поскольку матрица трансформации имеет только шесть элементов, которые могут быть изменены, визуально она отображается в PDF . Такая матрица может представлять любое линейное преобразование из одной координатной системы в другую. Матрицы преобразований образуются следующим образом:
- Перемещения указываются как , где t x и t y — расстояния от оси системы координат по горизонтали и вертикали, соответственно.
- Масштабирование указывается как . Это масштабирует координаты так, что 1 единица в горизонтальном и вертикальном измерениях в новой координатной системе такого же размера, как и s x и s y единиц в старой координатной системе соответственно.
- Повороты производятся матрицей , что соответствует повороту осей координатной системы на θ градусов против часовой стрелки.
- Наклон указывается как , что соответствует наклону оси x на угол α и оси y на угол β .
На рисунке ниже показаны примеры трансформации. Направления перемещения, угол поворота и наклона, показанные на рисунке, соответствуют положительным значениям элементов матрицы.
Умножения матрицы не коммутативны — порядок, в котором перемножаются матрицы, имеет значение.
В таблице ниже приведены допустимые преобразования и значения матрицы.
Исходный рисунок | Трансформированный рисунок | Матрица | Описание |
---|---|---|---|
1 0
0 2 0 0 |
Масштаб по вертикали. Если значение матрицы больше 1, объект расширяется, меньше 1 — сжимается. |
||
2 0
0 1 0 0 |
Масштаб по горизонтали. Если значение матрицы больше 1, объект расширяется, меньше 1 — сжимается. |
||
-1 0
0 1 0 0 |
Отражение по горизонтали. |
||
1 0
0 -1 0 0 |
Отражение по вертикали. |
||
1 1
0 1 0 0 |
Наклон по вертикали вверх. |
||
1 -1
0 1 0 0 |
Наклон по вертикали вниз. |
||
1 0
1 1 0 0 |
Наклон по горизонтали вправо. |
||
1 0
-1 1 0 0 |
Матрица, виды матриц, действия над матрицами.
Виды матриц:
1. Прямоугольные : m и n - произвольные положительные целые числа
2. Квадратные : m=n
3. Матрица строка : m=1 . Например, (1 3 5 7) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором
4. Матрица столбец : n=1 . Например
5. Диагональная матрица : m=n и a ij =0 , если i≠j . Например
6. Единичная матрица : m=n и
7. Нулевая матрица : a ij =0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Треугольная матрица : все элементы ниже главной диагонали равны 0.
9. Симметрическая матрица :m=n и a ij =a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательноA"=A
Например,
10. Кососимметрическая матрица : m=n и a ij =-a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a ii =-a ii )
Действия над матрицами:
1. Сложение
2. Вычитание матриц - поэлементная операция
3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция
4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)
A mk *B kn =C mn причем каждый элемент с ij матрицы C mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.
Покажем операцию умножения матриц на примере
5. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A T или A"
,например
Строки и столбцы поменялись местами
Свойства операций над матрицами:
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
(λA)"=λ(A)"
(A+B)"=A"+B"
(AB)"=B"A"
2. Определители второго и третьего порядка (основные понятия, св-ва, вычисления)
Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.
Доказательство.
Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.
Свойство 2 . При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.
.
Доказательство.
Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.
Доказательство этого свойства следует из свойства 2 при k = 0.
Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.
Доказательство.
Свойство 5 . Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.
Доказательство следует из свойств 2 и 4.
Свойство 6 . При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.
Доказательство.
Свойство 7.
Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения 1.5.
Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Минор. Алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа.
Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании данного определителя, когда все элементы его, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными нулю.
Пример 8. Вычислить определитель
приведением к треугольному виду.
Решение. Вычтем первую строку определителя из остальных его строк. Тогда получим
.
Этот определитель равен произведению элементов главной диагонали. Таким образом, имеем
Замечание. Всё рассмотренное выше можно обобщить для определителей n-го порядка.
Приведение матрицы к ступенчатому виду. Элементарные преобразования строк и столбцов.
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:
I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.
II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.
III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.
Матрица , полученная из исходной матрицы конечным числом элементарных преобразований, называется эквивалентной . Это обозначается .
Элементарные преобразования применяются для упрощения матриц, что будет в дальнейшем использоваться для решения разных задач.
Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.
1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом (ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.
2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.
3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).
4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.
Пример 1.29. Привести к ступенчатому виду матрицы